微分学

微分

可微性的定义

设 是两个赋予了某种范数的有限维(实)欧氏空间, 是 中的一个区域, 是一个函数。我们要研究什么叫做“在局部上距离一个线性映射很近” 。

• 定义:设 ,若存在一个线性映射 ,使得 则称 在 处可微,线性映射 叫做 在 处的导数,记为 。若 在 的每一点处可微, 则称 在 上可微。

• 引理:

  • 若 是线性映射,则存在 ,使得对于任意的 ,有 。
  • 若 在 处可微,则 在 处连续;
  • 函数 的可微性与 和 的选取无关;
  • 导数 是唯一的;
  • 线性函数的导数就是它自身。

微分

• 可微性定义中出现的极限条件还可写成如下比较对称的形式: 根据这个观察,我们可以给出“微分”的如下商空间定义。
• 定义:设 ,对于 ,定义 则 是 的子空间,于是可定义商空间。微分即如下映射:
• 引理:设 同前,是两个有限维赋范空间,是一个线性映射,则如下商空间上的线性映射是良好定义的:
• 定理:设 同前,设 为 到自身的恒等映射在 上的限制,则 在 处可微当且仅当存在线性映射,使得在 中有

复合函数的可微性

• 定理:设 是三个有限维实赋范空间, 是两个区域, 是两个函数,且满足 ,于是可定义 。若 在 处可微、 在 处可微,则 在 处可微,且有 .

向量值函数的可微性

• 引理:设 是可微函数,则 也可微,且有 。
• 定理:设 同前,是 的一组基,将 展开为 ,则 在 可微当且仅当每个 在 可微。

连续可微

根据之前的定义,如果 在 处可微,那么导数 是一个从 到 的线性映射,所以如果用 表示从 到 的所有线性映射构成的线性空间,并且假设 在 的每个点处可微,那么导数 就给出了一个从 到 的映射。 - 定义 (算子范数):对于 ,定义 ,称为 A 的算子范数 - 定义:设 同前,并且 在 上可微。若导数函数 是连续的,则称 在 上连续可微。 上连续可微函数的全体构成的线性空间记为 。

偏导数

方向导数与偏导数

• 定义:设 在 处可微,于是 是从 到 的线性映射。对于 ,向量 叫做 在 处沿方向 的方向导数,记为 。
• 引理:
• 定义:设 是 的标准基,方向导数 叫做 在 处的第 个偏导数,记为 或。
• 设 是 的标准基,将 写为,则矩阵叫做 在 处的 矩阵,记为 。

链式法则

将 中的向量写为列向量,则有 设 同复合函数函数可微性, 上的坐标为 、,则有: 或者写为如下等价形式: ## 连续可微判据

• 定理:设 同前,则:

高阶导数

多重线性映射

• 定义 (多重线性映射):设 和 都是有限维(实)赋范空间,若一个映射 关于每个自变量都是线性的,则称它为多重线性映射,所有多重线性映射的全体构成一个线性空间,记为
• 定义 (多重线性映射范数):对于一个多重线性映射 ,定义它的范数为: 于是 成为一个赋范空间。

多重线性映射的范数

• 引理 (有限维空间上算子范数的存在性):对于 ,存在一个 ,使得对于任意的 ),有:

多重线性映射与迭代线性映射

• 引理:赋范空间 和 是同构的。

高阶导数的定义

设 同前,我们记

• 定义:对于 ,若 ,则 。若 , 则称 在 上 阶连续可导。所有 上 阶连续可导函数的全体构成的线性空间记为。
• 设 ,是 的基,则可定义 在点 处的 阶混合偏导数为,它们都属于 。

高阶导数的对称性

• 定理:设 、,则 是对称的,即对任意的 有

中值定理

Lagrange 中值定理(标量版)

对于 ,定义 ,称为以 为端点的线段。 - 定理:设 可微,,则存在 ,使得 。 - 例: (不存在向量版的 Lagrange 中值定理):考虑 ,取 ,则,但 , 所以不可能找到 ,使得

有限增量定理(欧氏空间版)

设是（实）赋范空间，是欧氏空间，是 中的区域

• 定理:设 可微,则存在 ,使得

有限增量定理(赋范空间版)

设,是（实）赋范空间，是 中的区域

• 定理:设 可微,记,则 ## 例:立方体的形变

设 , 是 中的区域,。若 ,则根据连续性, 对于任意的 、存在 、使得对于任意的 ,都有

于是 根据赋范空间版的有限增量定理,对于 ,我们有 由此可得立方体 和它的形变 的体积之间的比较关系: 在后面重积分换元法的证明中,上述估计是关键的一步。

Taylor 公式

一个引理

• 引理:设,是赋范空间, 是 中的区域, 具有 阶导数,满足 。定义函数 ,则 也 阶可导,且有。 (以后我们将 记为 .

Taylor 公式(标量版)

• 定理 (Lagrange 余项):设 同前,若 具有 阶导数,则存在一个 ,使得

• 定理 (积分余项):设 同前,若 ,则上式中的余项又可写为

Taylor 公式(向量版:积分余项与 Peano 余项)

• 定理 (Peano 余项):设 同前,若 具有 阶导数且 在 处连续,则当 时,有

Taylor 公式(向量版:欧氏空间情形与赋范空间情形)

• 定理 (欧氏空间情形):设 同前, 是一个有限维欧氏空间。若 具有 阶导数, 则存在一个 ,使得 Taylor 公式的余项满足

• 定理 (赋范空间情形):设 同前,若 且 在 上存在 阶导数,记
  则 Taylor 公式的余项满足

例:多元 Taylor 级数

设 同前,如果 、且有一个与 和 都无关的上界, 那么当 时显然有 ,于是可得多元 Taylor 级数: 注意 所以上式又可写为

例:极值问题

• 引理 (Fermat 引理):设 是有限维赋范空间, 是 中的区域, 可微。若 是 的局部极值点,则 。
• 定义:使 的点 叫做 的临界点。若二次型 是非退化的,则称 为非退化的。
• 定理:设 是 的非退化临界点,则它是 的极小值(或极大值)点当且仅当二次型 是正定(或负定)的。 (不定 不是极值点、半正定(或半负定) 退化临界点。 )
• 定理:设 同前, 在 处 阶可微,并且满足
  • 若 是 的极值点,则 是偶数,且 次型 是半定的;
  • 设 、、。若 ,则 是 的极小值点;若 ,则 是 的极大值点;若 ,则 不是 的极值点;若 次型半定,则需要用其它方法判断。

反函数定理

• 定理:设 和 是两个有限维赋范空间, 是 中的区域,。若 是可逆的,则存在 的开邻域 和 的开邻域 , 使得:
  • 是双射;
  • ;
  • 对于任意的 , 都可逆,且有 ## 微分同胚
• 定义：设 同前,若 是单射、且 ,则称 是从 到 的一个 阶微分同胚。
• 推论 (整体反函数定理) 设 同前,若 是单射、且 在 上处处非零,则 也是区域, 且 是微分同胚。

隐函数定理

线性方程组情形

反函数定理可以看成是线性方程组理论中的 Cramer 法则在多元微积分中的非线性推广。为了理解隐函数定理,我们需要先考察一下它的线性版本。

• 例:设 是两个线性空间, 是一个线性满射,我们想找出 的核空间。如果已经通过某种办法找到 V 的一个直和分解 ,使得 是可逆的,则存在一个映射,使得 。

隐函数定理

• 定理：设 、 是两个有限维赋范空间,。将 按其标准基分解为 ,其中 、。设 是 中的区域,, 。若 且 是满射,不妨设 可逆,则:
  • 存在满足 的 在 中的开邻域 与 在 中的开邻域 ,以及满足的 阶连续可导函数 ,使得对于任意的 当且仅当 。
  • 对于任意的 ,若将 分解为 ,则有 。

Lagrange 反演公式

连续可微映射的秩

• 定义:设 、 是两个有限维赋范空间, 是 中的区域,,记 则使得 非空的最大的 叫做 在 上的秩。

• 引理:设 在 上的秩为 ,则 是开集。

秩定理

如下定理可视为线性代数中矩阵的相抵标准型的非线性推广 - 定理：设 、 是 中的区域、 在 上的秩为,则对于任意的 , 存在 在 中的开邻域 中的开集 和微分同胚 ,以及 的开邻域 中的开集 和微分同胚 ,使得复合函数 具有如下形式: 其中 是 上的坐标。

连续可微性与维数

• 定理:设 、是两个开集,。
  • 若 ,则 不可能是单射;
  • 若 ,则 不可能是满射;
  • 若 是微分同胚,则 。

最简微分同胚

在线性代数中我们学过,一个可逆矩阵总可分解为一系列初等矩阵的乘积,接下来要讲的结论可以看成是这个事实的非线性推广。

设 是两个 维欧氏空间, 是 中的区域, 是一个微分同胚。我们要研究 在 附近的分解。与反函数定理证明的预处理步骤类似,我们不妨设 ,并假定已经取好了 的一组标准基 。

• 定义:设 是 中的区域, 是一个微分同胚,将 写为 。如果存在一个,使得对于 ,有 ,则称 是一个最简微分同胚。此时我们还可将 写为 。

微分同胚的局部分解

• 定理:设 同前,则存在 在 中的开邻域 和 上的 个最简微分同胚,以及一个置换变换 ,使得对于任意的 ,有