等周问题
正则简单闭曲线
- 一条平面曲线是指从某个非平凡闭区间 到 的连续映射,即 其中 。
- 叫闭曲线,如果 。
- 闭曲线 叫简单闭曲线,如果
。
- 叫分段光滑的,如果存在 的分划 使得对于所有的 。
- 光滑曲线 叫正则的,如果 。
Jordan 闭曲线定理
设 是一条简单闭曲线,则 由两个区域组成:一个是有界的(称为的内部) ;另一个是无界的(称为的外部) 。 的像 则构成这两个区域的共同边界。
简单闭曲线内部的面积
设 是一条分段光滑简单闭曲线,则
的内部的面积为
光滑曲线长度
设 是一条分段光滑曲线,则 的长度为
等周定理(正则简单闭曲线的等周定理)
设 是一条正则简单闭曲线, 是 的内部的面积, 是 的长度,则有等周不等式: 等号成立当且仅当
是一个圆。
Weierstrass 逼近定理
设 ,则对于任意的
,存在一个多项式 ,使得 。
的无理性
我们将用以下步骤说明 ，由此可以推出。 1. 设： 则 的各阶导数在
处的值都是整数。 2.
对任意正实数 a,设: 则当 充分大时 。 3. 假设 ,其中 ,则对于任意的正整数
,有 ,这与 2) 矛盾。
Euler-Maclaurin 公式
高阶分部积分公式及其变形
设,利用数学归纳法不难证明如下的 阶分部积分公式:
从高阶分部积分公式到 Taylor
公式
Euler – Maclaurin
公式(一) :一个梯形的情形
Euler – Maclaurin 公式(二) :g
(x) 的确定
Euler – Maclaurin
公式(三) :一个梯形情形的最终答案
Euler – Maclaurin
公式(四) :n 个梯形的情形
Euler – Maclaurin
公式(五) :n 个梯形情形的最终答案
Stirling 公式
