反常积分

反常积分的定义

反常积分(improper integral)也称广义积分,是通常的黎曼积分的一种推广和补充,用来处理无界区间和无界函数的定积分。

定义 (反常积分):设 ,函数 满足对任意的 。若函数极限 存在,则称其为 在 上的反常(黎曼)积分,并记为 这样的 也称在 上内闭黎曼可积或局部黎曼可积,我们以下简称其为局部可积

反常积分的例子

例: (无界区间情况,也叫无穷积分) 区间 例: (无界函数情况,也叫瑕积分) 区间 其它变种: 除了前面的 “坏点在右” 情形以外,反常积分还有其它变种: - 坏点在左: - 左右都坏: - 坏点在中间： - 一般情况:左右都坏且中间有有限多个坏点(略)

反常积分的性质

• 若 ,则
• 线性性：
• 区间可加性：
• 分部积分：
• 换元法:
• Newton-Leibniz 公式:

反常积分的计算

• 分部积分:
• 有理函数积分:
• 区间的平移、翻转、拉伸与拼接:
• Riemann-Lebesgue 引理:
• Wallis 公式: # 反常积分判敛准则

反常积分的 Cauchy 准则

定理 (Cauchy 准则)

设函数 在区间 上局部可积，则反常积分 收敛的充分必要条件是：对于任意的 ,存在 ,使得对于任意的 ,都有

推论

条件同前。若反常积分 收敛。则 也收敛，且有

定义 (绝对收敛)

若 收敛，则称 绝对收敛

反常积分的单调收敛准则

定理 (单调收敛准则)

设函数 在区间 上局部可积。若在上 ,则反常积分 收敛的充分必要条件是:函数在 上有界。

定理 (比较判敛法)

设函数 在区间 上局部可积。若在 上有 ,且收敛，则也收敛,且有

比较判敛法的变种

• 条件 可改为 ;
• 条件 只需对充分接近 的 成立即可;
• 更好用的版本:若 、、 且收敛，则也收敛
• 极限形式的比较判敛法: 条件同前,若 则：当 时,收敛,则也收敛。
• 与 p-积分的比较

条件收敛的例子

例: (Dirichlet 积分)

反常积分的 Abel-Dirichlet 判别法

设函数 在区间上局部可积,且 单调。若 满足如下两组条件之一,则反常积分 收敛： 1. (Abel 条件)收敛，g有界 2. (Dirichlet 条件)有界、 ### Fresnel 积分 ## 其它性质

定理 (正项级数的积分判敛法)

设函数 非负且单调递减,则反常积分和正项级数同时收敛、同时发散。

命题 (何时反常积分收敛能推出被积函数极限为零?)

设反常积分收敛。 - 若存在，则 - 若在上一致连续，则