丘.10.4.正交变换与对称变换

一、正交变换

1. 定义1 实内积空间到自身的满射,如果保持向量的内积不变,即那么称是上的一个正交变换
   • 性质1 正交变换A保持向量的长度不变
   • 性质2 正交变换A保持两个非零向量的夹角不变。
   • 性质 3 正交变换A保持正交性不变
   • 性质 4 正交变换A一定是线性变换
   • 性质5 正交变换A保持向量间的距离不变
   • 性质6 正交变换A一定是单射,从而正交变换A是可逆的。
   • 命题1 实内积空间V上的一个变换A是正交变换当且仅当A是V 到自身的一个同构映射
   • 命题2 实内积空间V上两个正交变换的乘积还是正交变换,正交变换的逆变换还是正交变换。
   • 命题3 维欧几里得空间到自身的一个映射,如果保持向量的内积不变,那么A 是正交变换
   • 命题4 维欧几里得空间上的线性变换是正交变换
     • 把的标准正交基映成标准正交基
     • 在的标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
   • 由于正交矩阵的行列式等于1或一1,因此维欧几里得空间上的正交变换的行列式等于1或—1。行列式等于1的正交变换称第一类的(或旋转);行列式等于一1的正交变换称为第二类的。
   • n维线性空间的任意一个维子空间称为一个超平面。
2. 定义2 设是维欧几里得空间,是中一个单位向量,是在上的正交投影,令则称为关于超平面的镜面反射,是第二类的正交变换.
3. 命题6 设A是实内积空间V上的一个正交变换,W 是A 的一个有限维不变子空间, 则 也是A的不变子空间。
4. 命题7设A是实内积空间V上的一个正交变换,如果A有特征值,那么A的特征值必为1或一1。
5. 命题8 设A是实内积空间V上的一个正交变换,如果A有特征值,那么A的属于不同特征值特征向量是正交的
6. 定理1 设A是n维欧几里得空间V上的一个正交变换,则存在V 的一个标准正交基,使得A 在这个基下的矩阵具有形式: 其中

二、对称变换

1. 定义3 实内积空间上的变换如果满足那么称A是V上的对称变换
2. 命题9 实内积空间V上的对称变换一定是线性变换。
3. 命题10 n维欧几里得空间V上的线性变换A 是对称变换当且仅当A在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。
4. 命题11 设A是实内积空间V上的一个对称变换,如果W是A的不变子空间,那么也是A的不变子空间。
5. 定理2 设A是n维欧几里得空间V上的一个对称变换,则V中存在一个标准正交基,使得A 在这个基下的矩阵为对角矩阵。