B.A.Ⅱ3.1欧几里得向量空间

直观理解与定义

1. 定义1 实的向量空间 带有一个指定的对称的双线性型, 它对应的二次型(或简单地,是正定的,就称空间是一个欧几里得向量空间.
2. 在一般情况下,对称双线性型在向量处的值被称为是它们的纯量积
3. 纯量乘积的基本性质：
   4. 标准纯量积:

基本的度量概念

1. 定义2:称非负实数 是任意向量的长度或模,
2. 称长度为1的向量是标准的.任意向量,把它乘上适当的数,就可以标准化了.即,对 我们有
3. 柯西-布尼亚科夫斯基不等式:欧几里得空间中,对任意向量, 不等式 都成立。
4. 定义3:如果向量之间的夹角为,也就是,那么,就说它们是正交的(表示成)
5. 推论(三角不等式): 向量与的长度可用不等式:联系在一起

正交化过程

1. 定义4 欧几里得向量空间V的基底被称为是正交的,如果,当 时,.进一步总有, 那么,称这个基底是个标准正交基底(或者规格化的正交基底) 换言之,在标准正交基底中所有的向量都具有单位长度.由每个正交基底都可以得到一个标准正交基底,只要将每个向量标准化
2. 定理2 任意非零的相互正交的向量 都是线性无关的.如果, 在此基础上还有同时,那么,向量组在V中构成一个标准正交基底.
3. 定理3在任意n维欧几里得空间V 中都必存在一个标准正交基底
4. 定义5 称纯量乘积是向量在直线上的投影,其中是个长度为1的向量
5. 定义6 所有的正交于子空间的向量 的集合是一个子空间(由于条件 的线性性质),记为,称它是的正交补
6. 定理4(正交化过程) 设 是维欧几里得向量空间中的一组个线性无关的向量.那么,存在一个正交向量组使得线性包络 和当时都重合.
7. 推论 欧几里得向量空间中所有的标准正交向量组都可以扩充成标准正交基底
8. 定理5 设是有限维欧几里得向量空间V的一个子空间, 是它的正交补, 那么,,

欧几里得向量空间的同构

1. 定理6任意两个维数相同的欧几里得向量空间都是同构的
2. 定理7映射是向量空间到的自然同构,在这个同构之下,欧几里得向量空间的标准正交基底与V*中与其对偶的基底相匹配. 这就是说,在欧几里得向量空间中每个向量 都可以看成是一个线性型.

标准正交基底与正交矩阵

1. 定义7:满足以下等价条件之一的矩阵即称之为正交矩阵,所有的阶正交矩阵的集合用符号表示.
2. 定理8 由一个标准正交基底向另一个标准正交基底的转换矩阵是正交矩阵,而且,所有的正交矩阵都可以是这种转换矩阵.
3. 所有的正交矩阵的行列式为+1或-1

辛空间

1. 纯量乘积的概念是“多面孔的”,如,在上任意一个非退化的斜对称的双线性型就给出一个辛线性结构.二次型本身,常常表成,仍然被称为是辛纯量乘积.对被称为辛空间.不失一般性, 可以把辛结构认为是标准的(相对于或).对应的基底称为辛基底.我们提到过的定理9的推论有另外一种说法:所有的维数相同的辛空间都是同构的
2. 有关辛算子，辛矩阵，辛群，辛算子谱的结构，日后补充