B.A.Ⅱ.3.2埃尔米特向量空间(酉空间)

前言

这应该是暂时我对于代数学引论的最后一篇笔记。以后我会用其他简单的教材来补充高代部分的内容，主要使用高等代数（第二版：下册）丘维声 。

埃尔米特型

1. 定义1 称是复向量空间上的一个半双线性型, 如果
   • ,也就是说,在第一个变量固定时,f对第一个变量是线性的;
   • ,也就是说,在第一个变量固定时,f对第一个变量是线性的;
   • 称半双线性型为埃尔米特型,如果
   • .满足条件的矩阵F同样也称为是埃尔米特的
   • 转换矩阵,,在用替换时仍保持埃尔米特性质
   • 埃尔米特型自然地对应埃尔米特二次型,因为,所以埃尔米特二次型只取实数值. 此时，如果 而且，那么，就说型是正定型.把写成,其中都是实值函数,和都是上的双线性型,而且是对称型,而是斜对称型.最后,的正定性等价于的正定型.
2. 定义2域上一个有限维向量空间附加了一个正定的埃尔米特型,则称为埃尔米特空间(酉空间).复数称为是向量的纯量积(也说是内积).
   • 标准的埃尔米特型对应埃尔米特矩阵.
   • 长度的定义同欧几里得空间

度量关系

1. 可以推出在欧几里得空间情形已知的关于模的性质
2. ,柯西-布尼亚科夫斯基不等式(也称它是施瓦茨不等式),(等式只有当x, 成比例时才能达到).

正交性

1. 基本与欧几里得空间保持一致
2. 设是埃尔米特向量空间(或欧几里得向量空间)的一个标准正交基底.
   • 对所有的
   • 对任意(帕塞瓦尔等式)
3. 与欧几里得向量空间不同,不能把埃尔米特空间和它的对偶空间等同起来
4. 定义3设是复向量空间上的一个通常的线性型(函数).称满足条件,的函数于是与共轭的线性函数(或半线性函数).

酉矩阵

1. 在欧几里得向量空间中借助正交矩阵可实现从一个标准正交基底向另外一个标准正交基底的转化,在埃尔米特空间情形有类似的命题.
2. 定义4 满足条件的矩阵被称为是酉矩阵
3. 显然,在实的情形,西矩阵就是正交矩阵
6. 和一样是酉矩阵

可赋范的向量空间

1. 定义5 设是某些点的集合,而是个映射,同时,对任意两个点,有非负实数(之间的距离)和它们相对应,而且还满足下列性质
   • (对称性)
   • )(三角不等式)
   • 相对于平移的不变性
   • 乘以纯量等于将距离延长倍 具有这种性质的函数可称之为度量,称对是个度量空间
2. 称(中点的序列,收敛到点,如果.称序列是基本的或柯西序列,如果对任意,均有使得当时必有.称度量空间E是完备的,
3. 定义6用代表数,并把它称为 具有性质4,5的度量 的模.
4. 定义7向量空间V,附加了满足下述三个条件的模函数,即称为赋范空间,完备的赋范向量空间被称巴拿赫空间.
   • ,如果